メッセージは、ユーザがログインしているときにはMoodle上で表示され、ログアウトしているときは電子メールで転送されます。

新規メッセージが届いている場合は、以下のようにMoodle上で赤い文字で明示されます。
https://docs.moodle.org/32/en/Messaging#Private_messages

ユーザが自分自身で設定すれば、ログインしていてもメールが届くようになります。
メッセージプリファレンスの設定がデフォルトで「オンライン時にメール通知されない」になってますので、
プリファレンス
https://md.kumamoto-u.ac.jp/user/preferences.php
のメッセージプリファレンスで、オンラインが On になっていない場合は、On にして再度ご確認ください。